مزاج متساو

مقارنة بين بعض المزاجات المتساوية. ^[1] يمتد الرسم البياني بمقدار أوكتاف واحد أفقيًا (افتح الصورة لعرض العرض الكامل)، وكل مستطيل مظلل هو عرض خطوة واحدة في المقياس. يتم فصل نسب الفاصل الزمني فقط في صفوف بحدودها الأولية .

المزاج المتساوي هو مزاج موسيقي أو نظام ضبط يقارب الفواصل الزمنية فقط ولكنه بدلاً من ذلك يقسم الأوكتاف (أو أي فاصل زمني آخر) إلى خطوات بحيث تكون نسبة ترددات أي زوج متجاور من النغمات هي نفسها. ينتج هذا النظام خطوات ملحوظة متساوية في الحجم، وذلك بسبب التغيرات اللوغاريتمية في تردد طبقة الصوت. ^[2]

في الموسيقى الكلاسيكية والموسيقى الغربية بشكل عام، نظام الضبط الأكثر شيوعًا منذ القرن الثامن عشر هو 12 مزاج متساوي (يُعرف أيضًا باسم مزاج متساوي 12 نغمة ، 12-TET أو 12-ET ، يُختصر بشكل غير رسمي بـ 12 متساويًا )، والذي يقسم الأوكتاف إلى 12 جزءًا، كلها متساوية على مقياس لوغاريتمي ، بنسبة تساوي الجذر الثاني عشر للعدد 2 ( ¹² √ 2 ≈ 1.05946). يُطلق على أصغر فاصل زمني ناتج، 1 ⁄ عرض الأوكتاف، نصف نغمة أو نصف خطوة. في الدول الغربية هذا المصطلحمزاج متساوٍ ، بدون مؤهل، يعني عمومًا 12-TET.

في العصر الحديث، عادةً ما يتم ضبط 12-TET نسبةً إلى طبقة صوت قياسية تبلغ 440 هرتز، تسمى A440 ، مما يعني ضبط نغمة واحدة، A ، على تردد 440 هرتز ويتم تعريف جميع النغمات الأخرى على أنها مضاعفات نصف النغمات البعيدة عنها، إما أعلى أو أقل في التردد. لم تكن درجة الصوت القياسية دائمًا 440 هرتز؛ لقد تباينت بشكل كبير وارتفعت بشكل عام خلال مئات السنين القليلة الماضية. ^[3]

المزاجات المتساوية الأخرى تقسم الأوكتاف بشكل مختلف. على سبيل المثال، تم كتابة بعض الموسيقى بصيغة 19-TET و31- TET ، بينما يستخدم نظام النغمات العربية 24-TET.

بدلاً من تقسيم الأوكتاف، يمكن لمزاج متساوٍ أيضًا أن يقسم فاصلًا زمنيًا مختلفًا، مثل النسخة المتساوية من مقياس بوهلين- بيرس ، الذي يقسم الفاصل الزمني العادل للأوكتاف والخمس (نسبة 3: 1)، يسمى "" "ثلاثية" أو " أوكتاف زائف " في هذا النظام، إلى 13 جزءًا متساويًا.

بالنسبة لأنظمة الضبط التي تقسم الأوكتاف بالتساوي، ولكنها ليست تقريبية لفترات زمنية فقط، يمكن استخدام مصطلح التقسيم المتساوي للأوكتاف أو EDO .

مجموعات الأوتار غير المتوترة ، والتي يمكنها ضبط ضبط جميع النغمات باستثناء الأوتار المفتوحة ، والمجموعات الصوتية، التي ليس لديها قيود ضبط ميكانيكية، تستخدم أحيانًا ضبطًا أقرب بكثير إلى مجرد التنغيم لأسباب صوتية. الأدوات الأخرى، مثل بعض آلات النفخ ، ولوحة المفاتيح ، والأدوات المزعجة ، غالبًا ما تكون تقريبية فقط للمزاج المتساوي، حيث تمنع القيود الفنية الضبط الدقيق. ^[4] تستخدم بعض آلات النفخ التي يمكنها ثني نغماتها بسهولة وعفوية، وأبرزها الترومبون ، ضبطًا مشابهًا للمجموعات الوترية والمجموعات الصوتية.

مقارنة المزاجات المتساوية بين 10-TET و60-TET على كل فاصل رئيسي للحدود الأولية الصغيرة (الأحمر: 3/2، الأخضر: 5/4، النيلي: 7/4، الأصفر: 11/8، سماوي: 13/ 8). يوضح كل رسم بياني ملون مقدار الخطأ الذي يحدث (بالسنتات) على أقرب تقدير تقريبي للفاصل الزمني المقابل (الخط الأسود في المنتصف). يمثل المنحنيان الأسودان المحيطان بالرسم البياني على كلا الجانبين أقصى خطأ ممكن، بينما يشير المنحنيان الرماديان بداخلهما إلى نصفه.

الخصائص العامة

وفي المزاج المتساوي تكون المسافة بين درجتين متجاورتين في الميزان هي نفس الفترة . نظرًا لأن الهوية المدركة للفاصل الزمني تعتمد على نسبته ، فإن هذا المقياس في الخطوات الزوجية هو تسلسل هندسي من الضرب. ( التسلسل الحسابي للفواصل الزمنية لن يبدو متباعدًا بشكل متساوٍ ولن يسمح بالانتقال إلى مفاتيح مختلفة .) على وجه التحديد، أصغر فاصل زمني في مقياس متساوي الوتيرة هو النسبة:

${\displaystyle r^{n}=p}$

${\displaystyle r={\sqrt[{n}]{p}}}$

حيث تقسم النسبة r النسبة p (عادة الأوكتاف ، وهي 2:1) إلى n أجزاء متساوية. ( انظر مزاجه المتساوي اثني عشر نغمة أدناه. )

غالبًا ما يتم قياس المقاييس بالسنت ، والتي تقسم الأوكتاف إلى 1200 فترات متساوية (تسمى كل منها سنتًا). هذا المقياس اللوغاريتمي يجعل المقارنة بين أنظمة الضبط المختلفة أسهل من مقارنة النسب، وله استخدام كبير في علم الموسيقى العرقي . يمكن العثور على الخطوة الأساسية بالسنت لأي مزاج متساوٍ عن طريق أخذ عرض p أعلاه بالسنت (عادة الأوكتاف، الذي يبلغ عرضه 1200 سنت)، والمسمى أدناه w ، وتقسيمه إلى أجزاء n :

$c={\frac {w}{n}}$

في التحليل الموسيقي، غالبًا ما يتم إعطاء المادة التي تنتمي إلى مزاج متساوٍ تدوينًا صحيحًا ، مما يعني استخدام عدد صحيح واحد لتمثيل كل نغمة. يؤدي هذا إلى تبسيط وتعميم مناقشة مادة الملعب داخل المزاج بنفس الطريقة التي يؤدي بها أخذ لوغاريتم الضرب إلى الإضافة. علاوة على ذلك، من خلال تطبيق الحساب المعياري حيث يكون المعامل هو عدد أقسام الأوكتاف (عادة 12)، يمكن اختزال هذه الأعداد الصحيحة إلى فئات طبقة الصوت ، مما يزيل التمييز (أو يعترف بالتشابه) بين طبقات الصوت التي تحمل نفس الاسم، على سبيل المثال ، c هو 0 بغض النظر عن تسجيل الأوكتاف. ميدي _يستخدم معيار الترميز تسميات الملاحظات الصحيحة.

الصيغ العامة للفترة المتساوية الحرارة

اثني عشر لهجة مزاجه على قدم المساواة

إن نظام المزاج المتساوي ذو 12 نغمة، والذي يقسم الأوكتاف إلى 12 فترة متساوية الحجم، هو النظام الموسيقي الأكثر استخدامًا اليوم، خاصة في الموسيقى الغربية.

تاريخ

الرقمان اللذان يُنسب إليهما الفضل في تحقيق الحساب الدقيق للمزاج المتساوي هما Zhu Zaiyu (مكتوب بالحروف اللاتينية أيضًا باسم Chu-Tsaiyu. الصينية:朱載堉) في عام 1584 وسيمون ستيفين في عام 1585. وفقًا لفريتز أ. كوتنر، أحد منتقدي نظرية المزاج المتساوي. ^[5] ومن المعروف أن تشو "قدم طريقة دقيقة للغاية وبسيطة ومبتكرة للحساب الحسابي للأوتار الأحادية ذات المزاج المتساوي في عام 1584" وأن ستيفين "قدم تعريفًا رياضيًا للمزاج المتساوي بالإضافة إلى حساب أقل دقة إلى حد ما لـ القيم العددية المقابلة في عام 1585 أو ما بعده." حدثت التطورات بشكل مستقل. ^[6]

يعزو كينيث روبنسون اختراع المزاج المتساوي إلى تشو ^[7] ويقدم اقتباسات نصية كدليل. ^[8] في نص يعود تاريخه إلى عام 1584، كتب تشو: "لقد أسست نظامًا جديدًا. لقد حددت قدمًا واحدة كرقم سيتم استخراج القدمين منه، وباستخدام النسب استخرجها. وإجمالاً، يتعين على المرء العثور على الرقم". الأرقام الدقيقة لعازفي الزمار في اثنتي عشرة عملية." ^[8] لا يتفق كوتنر مع هذا الرأي ويشير إلى أن ادعائه "لا يمكن اعتباره صحيحًا بدون مؤهلات رئيسية". ^[5] يقترح كوتنر أنه لم يحقق أي من تشو أو ستيفن مزاجًا متساويًا وأنه لا ينبغي اعتبار أي منهما مخترعًا. ^[9]

الصين

كان المنظرون الصينيون قد توصلوا سابقًا إلى تقديرات تقريبية لـ 12-TET، لكن تشو كان أول شخص يحل رياضيًا الحالة المزاجية المتساوية ذات 12 نغمة، ^[10] والتي وصفها في كتابه " اندماج الموسيقى والتقويم" (律暦融通، LƜ lì róng tōng) ) في عام 1580 وخلاصة كاملة للموسيقى والنغمة (樂律全書, Yuè lī quán shū ) في عام 1584. ^يقدم جوزيف نيدهام أيضًا وصفًا موسعًا. ^[12] حصل تشو على نتيجته بتقسيم طول الخيط والأنبوب على التوالي على ¹² √ 2 ≈ 1.059463، ولطول الأنبوب على ²⁴ √ 2 ،^[13] بحيث أنه بعد 12 قسمًا (أوكتافًا)، انخفض الطول إلى النصف.

ابتكر تشو عدة أدوات تم ضبطها وفقًا لنظامه، بما في ذلك أنابيب الخيزران. ^[14]

أوروبا

كان بعض الأوروبيين الأوائل الذين دافعوا عن المزاج المتساوي هم عازفو العود فينسينزو جاليلي ، وجياكومو جورزانيس، وفرانشيسكو سبيناتشينو ، وجميعهم كتبوا الموسيقى فيها. ^{[15] [16] [17] [18]}

كان سيمون ستيفين أول من طور 12-TET استنادًا إلى الجذر الثاني عشر لاثنين ، والذي وصفه في Van De Spiegheling der Singconst ( حوالي  1605 )، والذي نُشر بعد وفاته في عام 1884 ^.

فضل عازفو الآلات الموسيقية (عازفو العود وعازفو الجيتار) بشكل عام مزاجًا متساويًا، ^[20] بينما كان الآخرون أكثر انقسامًا. ^[21] في النهاية، فاز المزاج المتساوي ذو 12 نغمة. سمح هذا بالتعديل التوافقي ، وأنماط جديدة من النغمات المتناظرة ومتعددة النغمات ، والموسيقى غير المتناغمة مثل تلك المكتوبة بتقنية الـ 12 نغمة أو التسلسلية ، وموسيقى الجاز (على الأقل مكون البيانو الخاص بها) بالتطور والازدهار.

الرياضيات

في الحالة المزاجية المتساوية المكونة من 12 نغمة، والتي تقسم الأوكتاف إلى 12 جزءًا متساويًا، يكون عرض نصف النغمة ، أي نسبة تردد الفاصل الزمني بين نغمتين متجاورتين، هو الجذر الثاني عشر لاثنين :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463}$

وتنقسم هذه الفترة إلى 100 سنتا .

حساب الترددات المطلقة

للعثور على التردد P _n للملاحظة في 12-TET، يمكن استخدام التعريف التالي:

${\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(n-a)}}$

في هذه الصيغة P _n هي درجة الصوت، أو التردد (عادةً بالهرتز ) ، الذي تحاول إيجاده. P _a هو تردد الملعب المرجعي. n و a عبارة عن أرقام مخصصة للدرجة المطلوبة والدرجة المرجعية، على التوالي. هذان الرقمان موجودان في قائمة الأعداد الصحيحة المتتالية المخصصة لنغمات نصف متتالية. على سبيل المثال، A ₄ (درجة الصوت المرجعية) هو المفتاح التاسع والأربعون من الطرف الأيسر للبيانو (تم ضبطه على 440 هرتز )، وC ₄ ( C الأوسط )، وF# ₄ هما المفتاحان 40 و46، على التوالي. يمكن استخدام هذه الأرقام للعثور على تردد C ₄و رقم ₄ :

${\displaystyle P_{40}=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}\approx 261.626\ \mathrm {Hz} }$

${\displaystyle P_{46}=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}\approx 369.994\ \mathrm {Hz} }$

تحويل الترددات إلى نظيراتها المزاجية المتساوية

لتحويل تردد (بالهرتز) إلى نظيره المساوٍ لـ 12-TET، يمكن استخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle E_{n}=a\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {n}{a}}\right)\right)}{12}}}$

E _n هو تردد النغمة في نفس الحالة المزاجية، و a هو تردد النغمة المرجعية. على سبيل المثال، إذا جعلنا درجة الصوت المرجعية تساوي 440 هرتز، يمكننا أن نرى أن E ₅ وC# ₅ لهما الترددات التالية، على التوالي:

${\displaystyle E_{660}=440\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {660}{440}}\right)\right)}{12}}\approx 659.255\ \mathrm {Hz} }$

${\displaystyle E_{550}=440\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {550}{440}}\right)\right)}{12}}\approx 554.365\ \mathrm {Hz} }$

المقارنة مع التجويد فقط

الفواصل الزمنية لـ 12-TET تقارب بشكل وثيق بعض الفواصل الزمنية في التجويد فقط . ^[22] الأخماس والأرباع قريبان بشكل لا يمكن تمييزه تقريبًا من الفواصل الزمنية فقط، في حين أن الثلثين والسادس أبعد.

في الجدول التالي، تتم مقارنة أحجام الفواصل الزمنية المختلفة مع نظيراتها المتساوية، معطاة كنسبة بالإضافة إلى السنتات .

سبعة لهجة تقسيم متساوي للخامس

يتم ضبط آلات الكمان والفيولا والتشيلو بخمسات مثالية (G–D–A–E للكمان وC–G–D–A للكمان والتشيلو)، مما يشير إلى أن نسبة نصف النغمة الخاصة بها أعلى قليلاً من نسبة النغمات التقليدية ذات 12 نغمة. مزاج متساو. نظرًا لأن الخُمس الكامل له علاقة بنسبة 3:2 مع النغمة الأساسية، ويتكون هذا الفاصل من سبع خطوات، فإن كل نغمة تكون بنسبة ⁷ √ 3 ⁄2 إلى النغمة التالية (100.28 سنتًا)، مما يوفر خُمسًا مثاليًا بنسبة من 3:2 ولكن أوكتاف موسع قليلاً بنسبة ≈ 517:258 أو ≈ 2.00388:1 بدلاً من 2:1 المعتادة، لأن 12 أخماسًا مثاليًا لا يساوي سبعة أوكتافات. ^[23]ومع ذلك، أثناء العزف الفعلي، يختار عازف الكمان النغمات عن طريق الأذن، ولا يضمن سوى النغمات الأربع غير المتوقفة للأوتار أن تظهر هذه النسبة 3:2.

مزاجات أخرى متساوية

مزاجات خمسة وسبعة وتسعة نغمات في علم الموسيقى العرقي

مزاج متساوٍ من خمس وسبع نغمات ( 5-TET Play ⁱ و7- TET Play ⁱ )، مع 240- Play ⁱ و171 سنتًا من خطوات Play ⁱ ، على التوالي، شائعة إلى حد ما.

5-TET و7-TET يحددان نقاط النهاية لنطاق الضبط الصالح للمزاج التوافقي ، كما هو موضح في الشكل 1.

• في 5-TET، يبلغ عرض الخُمس المثالي المقسى 720 سنتًا (في الجزء العلوي من سلسلة الضبط)، ويمثل نقطة النهاية في سلسلة الضبط التي يتقلص عندها عرض الثانية الثانوية إلى عرض قدره 0 سنتًا.
• في 7-TET، يبلغ عرض الخماسي المثالي 686 سنتًا (في الجزء السفلي من سلسلة الضبط)، ويمثل نقطة النهاية في سلسلة الضبط، حيث تتوسع الثانية الثانوية لتصبح بعرض الثانية الكبرى (عند 171 سنتًا). كل).

5 نغمات و 9 نغمات متساوية في المزاج

وفقًا لكونست (1949)، يتم ضبط الجاميلان الإندونيسي على 5-TET، ولكن وفقًا لهود (1966) وماكفي ( 1966) يختلف ضبطها بشكل كبير، ووفقًا لتينزر (2000) فهي تحتوي على أوكتافات ممتدة . من المقبول الآن أنه من بين نظامي الضبط الأساسيين في موسيقى الجاميلان، سليندرو وبيلوغ ، فإن سليندرو فقط يشبه إلى حد ما مزاجًا متساويًا بخمس نغمات، في حين أن بيلوج غير متساوٍ إلى حد كبير؛ ومع ذلك، سورجودينينجرات وآخرون. (1972) تحليل pelog بما يعادل 9-TET (خطوات 133 سنتًا Play ⁱ ).

7-نغمة مزاجية متساوية

إكسيليفون تايلاندي قياسه مورتون (1974) "يختلف فقط زائد أو ناقص 5 سنتات" من 7-TET. وفقًا لمورتون، "يتم ضبط الآلات التايلاندية ذات الطبقة الثابتة على نظام متساوي البعد من سبع طبقات لكل أوكتاف... كما هو الحال في الموسيقى الغربية التقليدية، ومع ذلك، لا يتم استخدام جميع طبقات نظام الضبط في وضع واحد (يشار إليه غالبًا باسم" مقياس')؛ في النظام التايلاندي، يتم استخدام خمسة من السبعة في النغمات الرئيسية في أي وضع، وبالتالي إنشاء نمط من الفواصل الزمنية غير المتساوية للوضع." ^[24] العب ^ط

سلم سلم هندي في أمريكا الجنوبية من ثقافة ما قبل الآلات تم قياسه بواسطة Boiles (1969) يتميز بمزاج متساوي بسبعة نغمات يبلغ 175 سنتًا، والذي يمتد الأوكتاف قليلاً، كما هو الحال مع موسيقى غاميلان الآلية.

استخدمت الموسيقى الصينية تقليديًا 7-TET. ^{[25] [26]}

مزاجات متساوية مختلفة

تم إنشاء العديد من الأدوات باستخدام ضبط 19 EDO . أي ما يعادل 1/3 فاصلة، فهو يحتوي على خمس مثالي أكثر استواءً قليلاً (عند 695 سنتًا)، ولكن ثلثه الصغير والسادس الرئيسي يبعدان أقل من خمس سنت عن فقط، مع أقل EDO الذي ينتج أفضل الثالثة الثانوية والسادسة الكبرى من 19 EDO هي 232 EDO. رابعها المثالي (عند 505 سنتات)، هو سبعة سنتات أكثر حدة من مجرد التنغيم وخمسة سنتات أكثر حدة من 12 إيدو.

23 EDO هو أكبر EDO الذي يفشل في تقريب التوافقيات الثالث والخامس والسابع والحادي عشر (3:2، 5:4، 7:4، 11:8) في حدود 20 سنتًا. لكنه يقوم بتقريب النسب بينهما (بما في ذلك الثلث الصغير 6/5 المضبوط بشكل عادل) بشكل جيد للغاية، مما يجعله جذابًا لأخصائيي النغمات الدقيقة الذين يبحثون عن منطقة توافقية غير عادية.

24 EDO ، مقياس ربع النغمة ، يحظى بشعبية خاصة، لأنه يمثل نقطة وصول ملائمة للملحنين المشروطين بممارسات النغمات والتدوين الغربية القياسية 12 EDO المهتمين أيضًا بالنغمة الدقيقة. نظرًا لأن 24 EDO يحتوي على جميع نغمات 12 EDO، يستخدم الموسيقيون الألوان الإضافية دون فقدان أي تكتيكات متاحة في تناغم 12 نغمة. إن 24 هو أحد مضاعفات 12 مما يجعل من السهل أيضًا تحقيق 24 EDO بشكل فعال من خلال استخدام أداتين تقليديتين من 12 EDO تم ضبطهما بربع نغمة، مثل اثنين من البيانو، مما يسمح أيضًا لكل عازف (أو عازف واحد بالعزف على بيانو مختلف بكل يد) ) لقراءة تدوين مألوف مكون من 12 نغمة. العديد من الملحنين، بما في ذلك تشارلز آيفز، جرب موسيقى البيانو ربع النغمة. 24 EDO يقترب أيضًا من التوافقيات 11 و 13 بشكل جيد جدًا، على عكس 12 EDO.

26 هو أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف الذي يضبط النغمة التوافقية السابعة (7:4) تقريبًا. إنه أيضًا مزاج مقصود، وإن كان مزاجًا مسطحًا جدًا، حيث ينتج أربعة من أخماسه المثاليين ثلثًا محايدًا بدلاً من الثلث الرئيسي. 26 إيدو له ثلثان صغيران وسدسان صغيران ويمكن أن يكون مزاجًا بديلاً لتناغم صالون الحلاقة .

27 هو أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف الذي يمثل بشكل فريد جميع الفترات التي تتضمن التوافقيات الثمانية الأولى. إنه يخفف الفاصلة الحاجزية ولكن ليس الفاصلة النحوية .

29 هو أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف الذي يكون خُمسه المثالي أقرب إلى 12 إيدو، حيث يكون الخامس حادًا بمقدار 1.5 سنتًا بدلاً من سنتان مسطحتين. ثلثها الرئيسي غير دقيق تقريبًا مثل 12 EDO، ولكن تم ضبطه بمقدار 14 سنتًا بدلاً من 14 سنتًا حادًا. كما أنه يضبط التوافقيات السابع والحادي عشر والثالث عشر بشكل مسطح بنفس المقدار تقريبًا. وهذا يعني أن الفواصل الزمنية مثل 7:5 و11:7 و13:11 جميعها متطابقة بشكل جيد للغاية في 29 EDO.

31 EDO تم الدفاع عنه بواسطة Christian Huygens و Adriaan Fokker ويمثل توحيدًا للفاصلة الربعية . مثل 19 إيدو، 31 إيدو لا يتمتع بدقة الخمس المثالي مثل 12 إيدو، لكن الثلثين الرئيسيين والسدس الصغير يبعدان أقل من سنت واحد عن فقط. كما أنه يوفر تطابقات جيدة للتوافقيات التي تصل إلى 13 توافقيًا على الأقل، منها التوافقية السابعة دقيقة بشكل خاص.

34 EDO يعطي إجمالي أخطاء تقريبية أقل قليلاً لنسب الحد 5 فقط 3:2، 5:4، 6:5، وانعكاساتها مقارنة بـ 31 EDO، على الرغم من أن تقريب 5:4 أسوأ. 34 EDO لا تقريبي للنسب التي تشمل 7 بئر. يحتوي على تريتون بقيمة 600 سنت، لأنه EDO ذو رقم زوجي.

41 هو ثاني أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف مع خُمس مثالي أفضل من 12 إيدو. ثلثها الرئيسي أكثر دقة من 12 EDO و29 EDO، بسعر ستة سنتات. إنه ليس مقصودًا، لذا فهو يميز 10:9 و9:8، إلى جانب الثلثين الرئيسيين الكلاسيكي وفيثاغورس، على عكس 31 إيدو. إنه أكثر دقة في الحد 13 من 31 EDO.

يوفر 46 EDO ثلثًا رئيسيًا وأخماسًا مثاليًا كلاهما حاد قليلاً من فقط، ويقال إن هذا يمنح الثلاثيات الكبرى صوتًا ساطعًا مميزًا. التوافقيات التي تصل إلى 11 تقع في حدود خمسة سنتات من الدقة، مع 10:9 و9:5 خمس سنت بعيدًا عن النقاء. وبما أنه ليس نظامًا مقصودًا، فهو يميز 10: 9 و9: 8.

53 EDO لم يستخدم إلا في بعض الأحيان، ولكنه أفضل في تقريب الحروف الساكنة التقليدية من 12 أو 19 أو 31 EDO. أخماسها المثالي الدقيق للغاية يجعلها مكافئة لضبط فيثاغورس الممتد ، ويستخدم أحيانًا في نظرية الموسيقى التركية . ومع ذلك، فهو لا يتناسب مع متطلبات المزاجات المقصودة، التي تضع الثلث الجيد في متناول اليد عبر دورة الأخماس. في 53 إيدو، يتم الوصول إلى الثلث الساكن بدلاً من ذلك باستخدام الربع الفيثاغوري المتناقص (CF ♭ )، لأنه مثال على المزاج الانشقاقي ، مثل 41 إيدو.

72 EDO يقارب العديد من فترات التجويد بشكل جيد، مما يوفر معادلات شبه عادلة للتوافقيات الثالث والخامس والسابع والحادي عشر. تم تدريس 72 EDO وكتابتها وتنفيذها عمليًا بواسطة جو مانيري وطلابه (الذين تتجنب ميولهم غير الصوتية عادةً أي إشارة إلى مجرد التجويد على الإطلاق). يمكن اعتباره امتدادًا لـ 12 إيدو لأن 72 هو مضاعف للرقم 12. 72 إيدو لديه أصغر فاصل زمني أصغر بست مرات من أصغر فاصل زمني وهو 12 إيدو، وبالتالي يحتوي على ست نسخ من 12 إيدو تبدأ على ملاعب مختلفة. ويحتوي أيضًا على ثلاث نسخ من 24 إيدو ونسختين من 36 إيدو، وهي في حد ذاتها مضاعفات 12 إيدو.

96 EDO يقارب جميع الفواصل الزمنية ضمن 6.25 سنتًا، وهو أمر بالكاد يمكن تمييزه. باعتباره مضاعفًا لـ 12 بثمانية أضعاف، يمكن استخدامه بالكامل مثل 12 EDO الشائع. وقد دافع عنها العديد من الملحنين، وخاصة جوليان كاريو . ^[28]

تشمل الأقسام المتساوية الأخرى للأوكتاف التي وجدت استخدامًا عرضيًا 15 إيدو و 17 إيدو و 22 إيدو .

2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 هي مقامات المتقاربات الأولى للسجل ₂ (3)، لذا فإن 2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 على اثني عشر (والخمس)، تكون في المزاجات المتساوية المقابلة التي تساوي عددًا صحيحًا من الأوكتافات، تكون التقريبات الأفضل لـ 2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 فقط على اثني عشر/ أخماس من أي مزاج متساوٍ مع نغمات أقل. ^{[29] [30]}

1، 2، 3، 5، 7، 12، 29، 41، 53، 200... (التسلسل A060528 في OEIS ) هو تسلسل تقسيمات الأوكتاف الذي يوفر تقديرات تقريبية أفضل وأفضل للخمس المثالي. تحتوي التسلسلات ذات الصلة على أقسام تقارب الفواصل الزمنية الأخرى فقط. ^[31]

مزاجات متساوية لفترات غير اوكتاف

تتكون النسخة المتساوية من مقياس بوهلين-بيرس من النسبة 3:1، 1902 سنتًا، وهي تقليديًا خمس مثالي بالإضافة إلى أوكتاف (أي الثاني عشر المثالي)، وتسمى في هذه النظرية ثلاثية ( play i ⁾ ، و مقسمة إلى 13 جزءًا متساويًا. وهذا يوفر تطابقًا وثيقًا جدًا مع النسب المضبوطة بشكل عادل والتي تتكون من أرقام فردية فقط. كل خطوة تساوي 146.3 سنتًا ( اللعب ⁱ ) أو ¹³ √ 3 ​​.

ابتكرت ويندي كارلوس ثلاثة أمزجة متساوية غير عادية بعد دراسة شاملة لخصائص الأمزجة المحتملة بحجم خطوة يتراوح بين 30 و120 سنتًا. وكانت تسمى هذه ألفا وبيتا وغاما . ويمكن اعتبارها أقسامًا متساوية للخمس الكامل. يوفر كل واحد منهم تقريبًا جيدًا جدًا لعدة فترات زمنية عادلة. ^[32] أحجام خطواتهم:

• ألفا : ⁹ √ 3 ⁄ (78.0 سنتًا ) العب ⁱ
• بيتا : ¹¹ √ 3 ⁄ ( 63.8 سنتًا) العب ⁱ
• جاما : ²⁰ √ 3 ⁄ (35.1 سنتًا ) العب ⁱ

يمكن سماع Alpha و Beta على المسار الرئيسي لألبوم كارلوس عام 1986 Beauty in the Beast .

النسب بين النغمة النصفية والنغمة الكاملة

في هذا القسم، قد لا يكون للنغمة النصفية والنغمة الكاملة معانيها المعتادة 12-EDO، حيث أنها تناقش كيف يمكن تلطيفها بطرق مختلفة عن نسختها العادلة لإنتاج العلاقات المرغوبة. ليكن عدد خطوات النغمة النصفية s ، وعدد خطوات النغمة يكون t .

هناك بالضبط عائلة واحدة من المزاجات المتساوية التي تعمل على تثبيت نصف النغمة على أي جزء مناسب من النغمة الكاملة، مع الحفاظ على النغمات بالترتيب الصحيح (مما يعني، على سبيل المثال، أن C وD وE وF وF ♯ مرتبة تصاعديًا اطلب إذا حافظوا على علاقاتهم المعتادة بـ C). وهذا يعني أن تثبيت q على جزء مناسب في العلاقة qt = s يحدد أيضًا عائلة فريدة من مزاج واحد متساوٍ ومضاعفاته التي تحقق هذه العلاقة.

على سبيل المثال، حيث k عدد صحيح، 12 k -EDO مجموعات q = 1 ⁄ 2 و 19 k -EDO مجموعات q = 1 ⁄ 3 و 31 k -EDO مجموعات q = 2 ⁄ 5 . أصغر المضاعفات في هذه العائلات (على سبيل المثال 12 و19 و31 أعلاه) لديها خاصية إضافية تتمثل في عدم وجود ملاحظات خارج دائرة الأخماس . (هذا غير صحيح بشكل عام؛ في 24-EDO، نصف الحادة ونصف المسطحة ليست في دائرة الأخماس المتولدة بدءًا من C.) الحالات القصوى هي 5 k -EDO ، حيث q= 0 وتصبح النغمة النصفية انسجامًا، و7 k -EDO، حيث q = 1 ونصف النغمة والنغمة هما نفس الفاصل الزمني.

بمجرد أن يعرف المرء عدد خطوات نصف النغمة والنغمة في هذا المزاج المتساوي، يمكن للمرء العثور على عدد الخطوات الموجودة في الأوكتاف. مزاج متساوٍ مع الخصائص المذكورة أعلاه (بما في ذلك عدم وجود ملاحظات خارج دائرة الأخماس) يقسم الأوكتاف إلى خطوات 7 t − 2 s والخامس المثالي إلى 4 t − s خطوات. إذا كانت هناك ملاحظات خارج دائرة الأخماس، يجب على المرء بعد ذلك ضرب هذه النتائج بـ n ، عدد دوائر الأخماس غير المتداخلة المطلوبة لإنشاء جميع الملاحظات (على سبيل المثال، اثنان في 24-EDO، ستة في 72-EDO). (يجب أن نأخذ نصف النغمة الصغيرة لهذا الغرض: 19-EDO لها نصف نغمتين، إحداهما 1 ⁄ 3 نغمة والأخرى 2⁄ 3 . بالمثل، 31-EDO له نصف نغمتين، إحداهما 2 ⁄ 5 نغمة والأخرى 3 ⁄ 5 )

أصغر هذه العائلات هو 12k - EDO، وعلى وجه الخصوص، 12-EDO هو أصغر مزاج متساوٍ مع الخصائص المذكورة أعلاه. بالإضافة إلى ذلك، فإنه يجعل نصف النغمة بالضبط نصف نغمة كاملة، وهي أبسط علاقة ممكنة. هذه بعض الأسباب التي جعلت 12-EDO هو المزاج المتساوي الأكثر استخدامًا. (سبب آخر هو أن 12-EDO هو أصغر مزاج متساوٍ لتقريب تناغم الحدود الخمسة، والتالي الأصغر هو 19-EDO.)

يؤدي كل اختيار للكسر q للعلاقة إلى عائلة مزاجية واحدة متساوية تمامًا، ولكن العكس غير صحيح: 47-EDO له نغمتان مختلفتان، حيث تكون إحداهما 1 ⁄ 7 نغمة والأخرى 8 ⁄ 9 ، وهي ليست مكملة. من بعضها البعض كما في 19-EDO ( 1 ⁄ 3 و 2 ⁄ 3 ). يؤدي أخذ كل نصف نغمة إلى اختيار مختلف للخامس المثالي.

أنظمة الضبط ذات الصلة

ضبط موسيقي منتظم

يمكن تعميم الضبط الموسيقي في اثني عشر موسيقيًا متساويًا على أي ضبط موسيقي منتظم يقسم الأوكتاف كسلسلة من الخطوات TTSTTTS (أو دوران لها) مع كل T's وجميع S's بنفس الحجم و S's أصغر من T's. في اثني عشر متساويًا، يكون S هو نصف النغمة وهو بالضبط نصف حجم النغمة T. وعندما ينخفض ​​حرف S إلى الصفر، تكون النتيجة TTTTT، وهو مزاج متساوٍ بخمس نغمات. عندما تصبح النغمات النصفية أكبر، تصبح الخطوات في النهاية بنفس الحجم، وتكون النتيجة مزاجًا متساويًا بسبعة نغمات. لا يتم تضمين نقطتي النهاية هاتين كضبطات موسيقية منتظمة.

ترتبط النوتات الموسيقية في الضبط الموسيقي المنتظم بدورة مكونة من سبعة أخماس مخففة. يتم تعميم نظام الـ 12 نغمة بالمثل على تسلسل CDCDDCDCDCDD (أو دورانه) من نصف نغمات لونية وموسيقية متصلة بدورة من 12 أخماسًا. في هذه الحالة، يتم الحصول على سبعة يساوي في النهاية حيث أن حجم C يميل إلى الصفر، وخمسة يساوي هو الحد عندما يميل D إلى الصفر، في حين أن اثني عشر يساوي بالطبع هي الحالة C = D.

يمكن أيضًا إنشاء بعض الأحجام المتوسطة من النغمات وشبه النغمات في أنظمة مزاجية متساوية. على سبيل المثال، إذا كان نصف النغمة المقطوعة ضعف حجم نصف النغمة اللونية، أي D = 2C، فإن النتيجة تكون تسعة عشر متساوية، مع خطوة واحدة لنصف النغمة اللونية، وخطوتين لنصف النغمة الموسيقية، وثلاث خطوات للنغمة، و إجمالي عدد الخطوات 5T + 2S = 15 + 4 = 19 خطوة. يقترب النظام الناتج المكون من 12 نغمة بشكل وثيق من الفاصلة ذات الأهمية التاريخية البالغة 1/3.

إذا كان نصف النغمة اللونية ثلثي حجم نصف النغمة الموسيقية، أي C = (2/3)D، تكون النتيجة 31 متساوية، مع خطوتين لنصف النغمة اللونية، وثلاث خطوات لنصف النغمة الموسيقية، وخمس خطوات لنصف النغمة اللونية. النغمة، حيث 5T + 2S = 25 + 6 = 31 خطوة. يقترب النظام الناتج المكون من 12 نغمة بشكل وثيق من الفاصلة 1/4 ذات الأهمية التاريخية.

أنظر أيضا

• مجرد التجويد
• الصوتيات الموسيقية (فيزياء الموسيقى)
• الموسيقى والرياضيات
• ميكروتونر
• الموسيقى الميكروتونية
• ضبط البيانو
• قائمة الفواصل الزمنية المقصودة
• سلم موسيقي ولوني
• موالف الكتروني
• ضبط موسيقي

مراجع

اقتباسات

مصادر

• تشو، جين جينسيونج. (2003). اكتشاف المزاج الموسيقي المتساوي في الصين وأوروبا في القرن السادس عشر . لويستون، نيويورك: مطبعة إدوين ميلين .
• دوفين، روس دبليو. كيف أفسد المزاج المتساوي الانسجام (ولماذا يجب أن تهتم) . دبليو نورتون وشركاه، 2007.
• يورجنسن، أوين. ضبط . مطبعة جامعة ولاية ميشيغان، 1991. ISBN 0-87013-290-3 
• سيثاريس، ويليام أ. (2005). ضبط، جرس، الطيف، مقياس (الطبعة الثانية). لندن: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 1-85233-797-4.
• Surjodiningrat، W.، Sudarjana، PJ، and Susanto، A. (1972) قياسات النغمات للجاميلان الجاوي المتميز في جوجاكارتا وسوراكارتا ، مطبعة جامعة جادجاه مادا، جوجاكارتا 1972. مقتبس من https://web.archive.org/web/ 20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm. تم الاسترجاع 19 مايو، 2006.
• ستيوارت، بي جي (2006) "من المجرة إلى المجرة: موسيقى المجالات" [1]
• خراموف، ميخايلو. “تقريب التنغيم فقط بخمسة حدود. نمذجة MIDI بالكمبيوتر في الأنظمة السلبية للتقسيمات المتساوية للأوكتاف”، وقائع المؤتمر الدولي SIGMAP-2008 [ ^{رابط ميت دائم ]} ، 26-29 يوليو 2008، بورتو ، الصفحات من 181 إلى 184 ، ISBN 978-989-8111-60-9 

قراءة متعمقة

• أحاسيس النغمة عمل تأسيسي في علم الصوتيات وإدراك الصوت لهيرمان فون هيلمهولتز. وخاصة الملحق العشرين: إضافات المترجم، الصفحات 430-556، (pdf الصفحات 451-577)]

روابط خارجية

• مقدمة للضبط التاريخي بقلم كايل غان
• ويكي Xenharmonic على EDOs مقابل المزاجات المتساوية
• مركز مؤسسة Huygens-Fokker للموسيقى الميكروتونية
• أ. أورلانديني: صوتيات الموسيقى
• "المزاج" من ملحق لموسوعة السيد تشامبرز (1753)
• باربييري، باتريزيو. الآلات والموسيقى التوافقية، 1470-1900. (2008) لاتينا، Il Levante Libreria Editrice
• موسيقى كسورية ميكروتونية، جيم كوكولا .
• جميع الاقتباسات الموجودة في القرن الثامن عشر عن JS Bach ومزاجه
• دومينيك إيكرسلي: "إعادة النظر في روزيتا: مزاج باخ العادي للغاية"
• مزاج جيد، بناءً على تعريف Werckmeister
• بطاقات المقاييس المفضلة بواسطة P ETER B UCH